-->

La mecánica de las bolas de El Gordo

En esta época del año en el que han afloran muchos e interesantes posts sobre las probabilidades de que a una persona le toque el Gordo o la Lotería basándose en las matemáticas. Sin embargo, ¿todas las bolas tienen las mismas posibilidades? Me explico: las bolas que entran en el bombo son de madera de boj, pero en ella llevan indicado una cifra a la que representan. ¿Esa tinta pesa? Si el giro del bombo se traduce en fuerzas centrífugas ejercidas sobre unos sólidos con masa, ¿da ventaja que la bola pese más o menos? ¿El número 1 tiene menos posibilidades de resultar ganador en comparación al número 10.000? ¿O simplemente, el 80.000 tiene más posibilidades que el 10.000 por tener más tinta, y en consecuencia, más masa? 


Recordemos que la fuerza centrífuga es la fuerza que hace que en un movimiento giratorio, un sólido se aleje del eje de giro. Dada que la fórmula es 


|\mathbf F_\text{cf}|= m\boldsymbol\omega^2 \mathbf r


(donde m es masa, w es la velocidad de giro, y r es el radio de giro), vemos que cuanta mayor masa tenga la bolita, con más fuerza irá hacia el exterior del bombo y más cerca estará del agujero de salida. Bueno, vamos a explicar un poco todo esto:

La normativa de las Loterías y Apuestas del Estado indica claramente que las bolas tienen que tener un peso de 3 gr y un diámetro de 18,8 mm y están esculpidas en madera de boj. Además, no llevan tinta, sino que los números están marcados mediante un grabado láser. La Wikipedia española sugiere que por lo tanto, no hay diferencia de peso en los números. Sin embargo, yo no estoy de acuerdo. El grabado láser sí que influye en el peso. Concretamente, no añade peso, sino que lo quita, ya que el grabado consiste en la eliminación de una fina capa de material con la silueta de la cifra que deseemos imprimir.

Con lo cual, parece que nuestro razonamiento estaba equivocado, y tiene más posibilidades de estar en el exterior del bombo el número 1 que el 10.000. Pero vamos a seguir razonando. Se usan dos bombos en el sorteo de El Gordo: uno para premios y otro para los números. El más grande pesa 500kg de peso vacío (800kg lleno) y está fabricado en latón y bronce, y tiene unos 158 cm de diámetro. Además, gira a 15 vueltas por minuto.


Por lo tanto, ya podemos empezar a hacer números para ver si el peso del grabado láser afecta o no.

El momento angular es un vector existente en los sólidos que están en rotación. Concretamente, el momento angular del bombo para girar a la velocidad mencionada es:

\mathbf{L} = I \boldsymbol{\omega} \, .

Donde L es el momento angular, I es el momento de inercia, y w es la velocidad de giro del sólido.

Si asumimos la hipótesis de que el bombo es una esfera hueca con una capa exterior, el momento de inercia nos quedaría de la siguiente manera.

I=\frac{2}{3}\cdot{M}\cdot{R^2}

I=\frac{2}{3}\cdot{800kg}\cdot{(0,79m)^2}

I=332,85 kg\cdot{m^2}


Ahora sólo resta calcular el momento angular. Antes, pasamos revoluciones por minuto a radianes por segundo (que son las unidades del Sistema Internacional) mediante la siguiente fórmula


1\ rpm=1 \frac{r}{min} = \frac{2\pi\ rad}{60\ s} = \frac{\pi}{30} \cdot \frac{rad}{s} \approx 0,10471976\ \frac{rad}{s}

Por lo tanto, el momento angular es de la forma:

L=332,85 kg\cdot{m^2}\cdot{1,56\frac{rad}{s}}

L=519,24\frac{kg\cdot{m^2}}{s}

Sin embargo, esto poco o nada importa a las bolas del bombo, ya que la fuerza a la que están sometidas ellas es a la fuerza centrípeta, la cual aleja a un sólido del centro de giro en un movimiento circular. Su fórmula es la siguiente (indicada también arriba):

F=\frac{m\cdot{v^2}}{R}

V es la velocidad tangencial de cada una de las bolas. Vamos a suponer en un caso ideal, que las bolitas se moverían también a una frecuencia de 15 vueltas por minuto alrededor del bombo. Por lo tanto, como v=w·R, obtenemos que la velocidad tangencial es v=1,56·0,79=1,2324 m/s. A continuación, calculamos la fuerza de cada una de las bolas, considerándolos una masa puntual de 3 gramos, girando a una distancia de 0,79m


F=\frac{0,003kg\cdot{(1,23\frac{m}{s})^2}}{0,79m}

F=0,0057 N

Si en lugar de calcular con 3 gramos, hubiéramos calculado con 2,9 gramos, el resultado de la fuerza centrífuga sería de 0,0055 N, lo cual es menor sí. Pero si tenemos en cuenta que por cada bola que está girando en la parte más exterior del bombo, hay unas cuantas cientos de bolas que la están aplastando, y que el peso de estas bolas es un par de órdenes de magnitud mayor que la fuerza centrífuga de una, vemos que las diferencias entre masas de décimas o centésimas de gramos es totalmente despreciable.

Por lo tanto, el peso derivado del grabado láser sí que existe, pero es totalmente despreciable frente al conjunto de fuerzas del sistema.




2 comentarios :

Anónimo dijo...

Muchas gracias/felicidades por la entrada.

Me hace gracia, con todo el respeto del mundo, como este tipo de cuestiones son recurrentes en personas con cierta formación científica (incluso doctores en física) pero que nunca han tenido que enfrentarse a problemas "reales" (entiéndase a escala humana, no microscópica o astronómica). Más de una vez he discutido con algún amigo sobre los famosos desagües que en el polo sur giran, supuestamente, en sentido contrario.

Como bien dices, el momento de inercia/masa/color/temperatura/mal gusto de la bola contenedora poco importa. Sólo es relevante la velocidad de giro y creo que en primera aproximación basta con suponer que es constante. Por claridad de exposición, yo eliminaría esa parte de la entrada.

...y para terminar con las pedanterías, las unidades van con la fuente normal, no en itálica ;). En LaTeX lo puedes hacer encerrando las unidades con un \text{fooo} o, mejor aún, con la macro \numprint[unidad]{valor}.

Un saludo.

Jeibros dijo...

Hola! Gracias por la opinión! Reconozco que la entrada es bastante puntillosa/geek. La he aprovechado para explicar algunos conceptos de la Mecánica. Sí que tienes razón que sólo afecta al cálculo la fuerza centrípeta, pero explicando solo eso creo que el post quedaba un poco flojo. Ya menciono que a las bolas "poco o nada les importa".

Lo de Latex es un recurso rápido que tengo, jajaja. No tengo un editor instalado, sino que los saco de un editor online. Gracias por el apunte!

Publicar un comentario

 
Design by Free WordPress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Themes | Best Web Hosting