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Un poco de estadística y fútbol

A las puertas del comienzo de una nueva Liga de Fútbol, aquí va un pequeño artículo sobre estadísticas y alguna curiosidad que quizás os hayáis planteado: ¿cómo se representan las estadísticas de los jugadores durante la temporada (por ejemplo, pases con éxito o tiros a puerta)?

Tomemos como ejemplo los tiros a puerta. Según esta página web, el total de tiros de Messi a lo largo de la pasada temporada fue de 131, de los cuales 77 fueron tiros a puerta. Es decir, un 58'78%. Ahora bien, pensemos en el comienzo de la Liga 2017/18. ¿Qué ocurre cuando el jugador hace su primer tiro? ¿Si va a puerta, tendría una efectividad de 100%? ¿Y si falla, del 0%? ¿No es esto un poco drástico? ¿Significa esto que Messi va a quedarse toda la temporada probablemente en un valor de alrededor de 0 ó 100% de efectividad de tiros a puerta? 

¡Claro que no! Pero eso es porque partimos de información previa, y es el conocimiento de las estadísticas de Messi más o menos al finalizar las temporadas, y eso en estadística tiene mucho sentido y en inglés se le denomina prior. Vayamos paso a paso.

Para los tiros a puerta viene muy bien una herramienta que ya vimos en un post anterior, y es la distribución binomial Beta, que oscila entre (0, 1) y está determinada por los parámetros α y β.

Para el caso de los tiros a puerta habituales de un jugador, vamos a imaginar que al final de la temporada, la mayoría de jugadores tienen una efectividad del 27% respecto al total de tiros. Esto equivale a una α =  81 y  β =219.


Ahora mismo, esa distribución sería la siguiente:



En principio, la probabilidad inicial de cualquier jugador (incluído Messi) de acertar tiros a puerta es este, obtenido a partir de los datos de todos los jugadores a lo largo de la temporada pasada. Ahora, ¿qué ocurre cuando Messi realiza el primer tiro de la temporada en el primer partido de Liga? Actualizamos la función binomial Beta de la siguiente manera:

Beta(α + aciertos, β + fallos).

Es decir, si el tiro iba a puerta, es un caso de éxito, y tendríamos la nueva Beta (81 + 1, 219), y esa función dibujada sería la siguiente:

Los cambios son apenas perceptibles entre una gráfica y otra, pero los ha habido. Es normal que ocurra esto, ya que significa que un tiro no altera apenas las estadísticas globales de un jugador a lo largo de la temporada.

Pero según se van acumulando los tiros, se nota aún más. Pongamos que el jugador hace 300 tiros en una temporada, de los cuales a puerta van 100. Tendríamos Beta (81+100, 219+200):


Ahora sí que se notan cambios aparentes. Y además, la distribución se ha estrechado, debido sobretodo a que la probabilidad de acierto de Messi a lo largo de la temporada ha sido bastante baja.




Nota
Los valores iniciales de α = 81 y β = 219 se obtienen a partir de la siguiente fórmula:




El artículo está basado en este hilo de Stackexchange.



https://stats.stackexchange.com/questions/47771/what-is-the-intuition-behind-beta-distribution

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