Un poco de química y matemáticas del fútbol

¿Cuál es el origen de la estética y geometría del balón de fútbol al que estamos acostumbrados? Posiblemente, mucha gente atribuya este objeto a miles de horas de y trabajo de depuración de diseñadores. Como si tras un montón de pruebas, lográsemos un gran diseño estético de coche con sus líneas. Pero para los matemáticos, representa un curioso problema. ¿Habéis contado alguna vez cuántos paneles, hexágonos y pentágonos tiene un balón?

Pues si lo hacéis con un poco de paciencia, descubriréis que balones como el de la imagen tienen 12 pentágonos. La FIFA concretamente no dice nada de esto, sino que dice que para que una pelota sea pelota:

- debe ser una esfera con una circunferencia entre 68 y 70 cm.

- con un máximo de una desviación de 1.5% de la forma esférica cuando esté inflada

- la presión debe ser de 0.8 atmósferas.

¿Cuántos hexágonos tiene? Esto os costará un poco. ¡Armaros de paciencia para contarlos!

Pero a ver, ¿dónde está aquí la matemática y la química? Pues obviamente, el problema matemático reside en cómo encerrar un volumen sólo con pentágonos y hexágonos. Fíjaos en las siguientes imágenes (extraídas de aquí):

Son figuras que encierran un volumen y están formados por pentágonos y hexágonos... pero eso no tiene pinta de rodar por el césped correctamente (El de la izquierda tiene 20 vértices y 12 pentágonos; el de la derecha a su vez, tiene 24 vértices, 12 pentágonos y 2 hexágonos). ¿Cuál es la característica común en estas dos figuras? Que ambas tienen 12 pentágonos, y a eso se le denomina fullereno. 

Si manteniendo los 12 pentágonos, aumentamos un poco el número de hexágonos y de vértices, obtenemos formas que se parecen ya. Concremente, la siguiente figura tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos, y si no estuviera inflada, descansaría sobre una cara.

 

Y desde luego, no es "esférico", como se refieren a él muchos comentaristas deportivos, ya que puede constituir el 85% del volumen de una esfera. Si añadiésemos más vértices y hexágonos lograríamos formas aún más esféricas. ¿El problema? Que todo eso encarece el coste de la pelotita y las marcas no pasan por ahí. Pero volvamos a ver de dónde sale que en todas las "esferas" hay 12 pentágonos:

Esto se demostró en el siglo XIX, a cargo del GENIAL matemático Leonard Euler, que relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro. Esta fórmula dice de manera muy simplificada que si v son los vértices, a las aristas y c las caras, siempre se cumple que:

v - a + c = 2   (v - e + f en inglés, mucho más extendida) 

Si un fullereno tiene p pentágonos y h hexágonos: 

- cada arista está compartida por dos caras: a = (5p + 6h)/2

- cada vértice está compartida por 3 caras: v = (5p + 6h)/3

- hay p + h caras: c=p+h

Y si aplicáis la fórmula de Euler, descubriréis que p=12.

Un problema similar surgió en los 80 en el ámbito de la química, cuando se estudiaba un molécula de carbono de 60 átomos, que formaba anillos de 5 y 6 átomos cada uno. Se sabía que el hueco de esta molécula era hueco. Y cuando se empezó a dibujar el fullereno como un balón de fútbol, al principio se le comenzó a llamar futboleno. Y ojo, que 3 señores recibieron el Nobel de Química en 1996 por el descubrimiento de esta estructura.

Más información

http://static.cs.brown.edu/courses/csci1950-h/soccerball_topology.pdf
 http://mathtourist.blogspot.com.es/2010/06/hexagons-pentagons-and-geodesic-domes.html
http://verne.elpais.com/verne/2015/09/11/articulo/1441988783_165642.html
http://blog.zacharyabel.com/tag/eulers-graph-formula/
https://math.stackexchange.com/questions/18340/why-are-there-12-pentagons-and-20-hexagons-on-a-soccer-ball
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/alcobendas/alcobendas.htm