Asedio con matemáticas: fundíbulo

¿Qué es un fundíbulo, trabuquete o lanzapiedras medieval? Esto:

A cualquiera que haya pasado un rato, o muchas horas, con juegos del estilo Age of Empires, Empire Earth o similares, seguro que le es familiar. Esta arma de asedio lanza proyectiles con la siguiente secuencia (fuente): 

El fundíbulo parece que es originario de China y se introdujo en Europa en el siglo XIII. Se trata de un arma de asedio pesada que lanza proyectiles como piedras contra una fortaleza desde una gran distancia.

Si consideramos el proyectil como una única partícula sólida, podríamos calcular varios movimientos de esta máquina con ecuaciones físicas elementales. Una de ellas dice cuál es el máximo alcance de una partícula lanzada con un cierto ángulo y una velocidad inicial:

donde R es el alcance, v es la velocidad inicial, g es la gravedad y alfa representa el ángulo en el momento en el que la piedra se separa del arma. Por lo tanto, el valor máximo de R se obtiene cuando alfa es 45º. Es decir, algo así (fuente):

Lo más curioso de la fórmula precedente es ver que el lanzamiento no depende de la longitud de los brazos del fundíbulo, al contrario de lo que pueden pensar alumnos de universidades en los que se suele reproducir este experimento.

Aunque los técnicos medievales no lo superan, estaban empleando un péndulo doble para el asedio, algo que ahora es muy típico en robótica para hablar de equilibrio de un sistema y su control. De hecho, cosas de estas son claves en el funcionamiento del famoso Segway.

El caso es que muchos futbolistas y golfistas emplean un doble péndulo para dar sus mejores golpes, tal y como lo demuestra artículos como este o este otro. De hecho, el segundo paper recoge un experimento en el que se modela la pierna de un futbolista como un doble péndulo. De la cadera hasta la rodilla va un péndulo, y de la rodilla al tobillo otro. Cada uno de las articulaciones corporales tiene su propio sistema de referencia. Sin embargo, se demuestra que para que el tobillo alcance la velocidad máxima es conveniente que la rodilla gire todo lo que pueda, ya que se suman velocidades. Lo mismo ocurre en el golf.